积一百六十二寸，为分者十六万二千；一升积十六寸二分，为分者一万六千二百；一合积一寸六分二厘，为分者一千六百二十，则黄钟之龠为八百一十分明矣。空围八百一十分，则长累九十黍，广容一千二百黍矣。盖十其广之分以为长，十一其长之分以为广，自然之数也。”
臣按：朱熹《律吕新书》序所谓“黄钟围径之数，则汉斛积分可考”者此也。《新书》之首章“律吕本原”论黄钟曰：“长九寸，空围九分，积八百一十分。盖天地之数始于一、终于十，其一、三、五、七、九为阳，九者阳之成也；其二、四、六、八、十为阴，十者阴之成也。黄钟者阳声之始，阳气之动也，故其数九。分寸之数具于声气之元，不可得而见，及断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉。均其长得九寸，审其围得九分，积其实得八百一十分，长九寸、围九分，积八百一十分，是为德本度量权衡，于是而受法，十一律由是而损益焉。”吁，自汉以来钟律之议纷纷靡定，蔡氏兹书一出而千古之论灼然不疑，所谓“断竹为管，吹之而声和，候之而气应，而后数始形焉”，此数言者真诚作乐定律之本也。
《淮南子》曰：规始于一，一不生，故分而为阴阳，阴阳合和而万物生，故曰一生二，二生三，三生万物。三参物，三三如九，故黄钟之九寸而宫音调，因而九之，九九八十一，故黄钟之数立。律之数六，分为雌雄，故曰十二钟，以副十二月，十二各以三成，故置一而十一三之，为积分十七万七千一百四十七，黄钟大数立焉。
太史公曰：置一而九，三之以为法，实如法得长一寸，凡得九寸，命曰黄钟之律。
《前汉志》曰：太极元气，函三为一。极，中也。元，始也。行于十二辰，始动于子，参之于丑得三，又参之于寅得九，又参之于卯得二十七，又参之于辰得八十一，又参之于巳得二百四十三，又参之于午得七百二十九，又参之于未得二千一百八十七，又参之于申得六千五百六十一，又参之于酉得万九千六百八十三，又参之于戌得五万九千四百四十九，又参之于亥得十七万七千一百四十七，此阴阳合德，气钟于子，化生万物者也。
蔡元定曰：“《淮南子》谓‘置一而十一三之，以为黄钟之大数’，即《律书》‘置一而九，三之以为寸法’者，其术一也。夫置一而九，三之既为寸法，则七三之为分法，五三之为厘法，三三之为毫法，一三之为丝法，从可知矣。《律书》独举寸法者，盖已于生钟，分内默具律，寸、分、厘、毫、丝之法而又于此律数之下，指其大者以明凡例也。一三之而得三，三三之而得二十七，五三之而得二百四十三，七三之而得二千一百八十七，九三之而得一万九千六百八十三。故一万九千六百八十三以九分之则为二千一百八十七，二千一百八十七以九分之则为二百四十三，二百四十三以九分之则为二十七，二十七以九分之则为三。三者丝法也；九其三得二十七，则毫法也；九其二十七得二百四十三，则厘法也；九其二百四十三得二千一百八十七，则分法也；九其二千一百八十七得一万九千六百八十三，则寸法也。一寸九分，一分九厘，一厘九毫，一毫九丝，以之生十二律，以之生五声二变，上下乘除，参同契合，无所不通，盖数之自然也。”
司马贞《史记索隐》注：黄钟八寸十分一，云律九九八十一，故云八寸十分一。
臣按：此即朱熹所谓“寸以九分为法，淮南、太史、小司马之法可推”者此也。元定之言曰：“黄钟九寸，以三分为损益，故以三历十二辰得一十七万七千一百四十七，为黄钟之实。其十二辰所得之数，在子、寅、辰、午、申、戍六阳辰为黄钟寸、分、厘、毫、丝之数，在亥酉未巳卯丑六阴辰为黄钟寸、分、厘、毫、丝之法，其寸、分、厘、毫、丝之法皆用九数，故九丝为毫，九毫为厘，九厘为分，九分为寸，为黄钟。盖黄钟之实一十七万七千一百四十七之数，以三约之，为丝者五万九千四十九；以二十七约之，为毫者六千五百六十一；以二百四十三约之，为厘者七百二十九；以二千一百八十七约之，为分者八十一；以一万九千六百八十三约之，为寸者九，由是三分损益以生十一律焉。”蔡氏所谓黄钟之实者如此，或者以谓算到十七万七千一百四十七之数何所用之？朱熹曰：“以定管之长短而出是声，考究其法当如是也。”
杜佑《通典》曰：十二律相生之法自黄钟始，三分损益下生林钟，林钟上生太蔟，太蔟下生南吕，南吕上生姑洗，姑洗下生应钟，应钟上生蕤宾，蕤宾上生大吕，大吕下生夷则，夷则上生夹钟，夹钟下生无射，无射上生中吕，此谓十二律长短相生，一终于仲吕之法。又制十二钟以准十二律之正声，又凫氏为钟以律计，自倍半，以子声比正声则正声为倍，以正声比子声则子声为半。但先儒释用倍声有二义，一义云半十二律正律为十二子声之钟，二义云从于仲吕之管寸数，以三分益一上生黄钟，以所得管之寸数然后半之以为子声之钟。其为变正声之法者，以黄钟之管正声九寸，子声则四寸半。又上下相生之法者，以仲吕之管长六寸一万九千六百八