言吾可用他法以代其数天谁能信之良以其乘除加减不过举手之劳顷刻而得无有奥邃难明之理在其间本无藉乎代也惟是数理幽深最耐探索畴人演算务阐精微于是乎设题愈难布算愈繁甚至经旬累月不能毕一数且其所求之数往往杂糅隐匿于各数之内而其理亦纡远而不易明若每事必设一题每题必立一术枝枝节节而为之术之多将不可胜纪而仍不足以穷数理之变则不如任数理之万变而我立一通法以驭之此中法之天元西法之代数所由作也代数之术其已知未知之数皆代之以字而乘除加减各有记号以为区别可如题之曲折以相赴迨夫层累已明阶级已见乃以所代之数入之而所求之数出焉故可以省算学之工而心亦较逸以其可不藉思索而得也虽然代数之术诚简矣诚便矣试问工此术者遂能不病其繁乎则又不能也夫人之用心日进而不已苟不至昏眊迷乱必不肯中辍故始则因繁而求简及其既简也必更进焉而复遇其繁虽迭代数十次其能免哉由是知代数之意乃为数学中钩深索隐之用非为浅近之算法而设也若米盐零杂之事而概欲以代数施之未有不为市侩所笑者也至于代数天元之异同优劣读此书者自能知之无待余言也
论四元相消之理
汤金铸
四元之书今所存者以元朱汉卿四元玉鉴为最古然四元实由天元所推广而天元则宋秦道古数学九章元李镜斋测圆海镜益古演郭邢台授时历艹皆着其法今并存唐王又孝通辑古算经所立诸术多与天元四元所衍得者同疑亦据此而作也考九章算术少广章曰借一算为法步之似即立天元一所自始顾天元因借一而立然所借止于一用犹未广故推衍为四元而四元法则悉本方程以为用也天元地元即方程[之]一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色须多一行犹元术多一元即多一式四元之相消无异方程之互乘对减方程对减一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然则对减者方程之转枢而相消者实四元之关键矣夫相消原与常法相减无异而理则有殊减则数有大小即有减余之数而相消必两数参差相等消后数有对者汰之无对者列为正负存之故所得必正负相当而等于无数天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者须得相等两如积相消遇寄左数须开平方始与又数等者即又数等于左数之平方根也故以又数自乘即与寄左数相等因自乘必无奇零开方数常不尽故以此通之也或遇左数当以某数除之始与又数等者即又数小于左数若干倍也则以其数乘又数令大若干倍即与左数相等因如积常不受除故以此通之也两数既等即可消为一行得开方式若立二元者既有两如积相消而得一式矣然式中又有两元之和数或较数则两元仍不可知故必更求两如积相消而得又一式乃以此二式相消得开方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行偏乘右式则二式之最左一行必相同而相消必尽犹方程之互乘对减必减去最上一层也知其必尽故不必乘亦不必减所以省算也如是屡乘屡消以消至一行止为开方式若遇两式中左行之数彼大于此若干倍者可以约率求之不必互乘互乘所以齐同今此既小于彼若干倍则依若干倍之即与彼齐同矣遇两式之行数不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇层数高下不同者亦然如右式有数在太上一层左式太下一层始有数可令右式降而从之或以左式升而从之其能任意升降者如以天元一除之或一乘之也若立三元则可任意升降而不可任意左右地人两元互相牵制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元则牵制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行数层数不齐者必用剔消法驭之剔消之理因各式之数既正负相当则任以一数乘之或除之其相当固不变即其数任分为二各自乘相减所得仍相当不变也故三元法遇各式行数多少不齐即将少行之式直剔为二各自乘而相消则数本为元者可增而为面体及多乘方可与多行之式相消矣四元法遇各式行数层数均不齐者则直剔一式使少行增为多行又横剔一式使少层增为多层亦可与多行多层者相消矣至旧法天物相乘地人相乘得数皆纪于夹缝中式中有此则视其由何数相乘而得者即以其数除而去之若不受除则乘他式以齐之凡此皆不外通分齐同之义而能尽相消之用者也
正负相当等于无数则任以数乘之除之或自乘开方或剔乘相消必仍相当而等于无数作者以此释相消之理良由于四元代数贯彻纯熟故能语必破的
九减法及任用他数减试说
沈善蒸
验乘除之误旧传九减之外其三四六七八皆可作减试之法惟一二五不可用因乘除之误恒差一二五等数故也梅氏算书祗有九减七减两法因用他数减试之法均同七减故用他数之减法可不俱载焉按九减法无论验加减乘除之误先以法数各位相并满九者以九减之减至不满九而止又实数得数并减亦如之并减过之数法仍为实如验乘法者仍相乘验除法者仍除之验加减者仍加减之所得之数满九者又九减之必与减过之原得数相同是为无误若不同必有误矣七减法则稍异不能各位相并须从首位次第以七减之减至尾位不满七而止减毕后乘除加减试验之法皆与九减同试言其理夫数起于一极于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一与十百千万之较数为九