角正矢星一昼夜而一周故以时化度即星道度甲辛壬与辛庚丙两句股形为同式故星道度本角正矢即甲辛弦与星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股与深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸与癸丙两弧相等并为深弧加北极出地之度以甲丁高弧减乙己丁半周余甲乙弧为北极出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以减半周折半即北极出地度此加减而得北极出地之理也何以知星道度本角正矢为甲辛外角正矢为辛丙也如甲卯丙未为依星道剖成平圆面甲丙为星道径丑甲为星出地平至子午圈所过之度甲心丑为本角其正矢为甲辛丑心丙为外角其正矢为辛丙也
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历二十六刻二分高弧六十三度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得九十八度其本角正矢为一、一三九一七三外角正矢为０、八六０八二七乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦０、八九一００六五为三率求得四率０、六七二二０九八为深弧正弦检表得四十二度十九分与高弧相加得一百零五度十九分以减半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北极出地度对数草曰九十八度本角正矢对数为一０、０五六五八九七一外角正矢对数为九、九三四九一五八三乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九、九四九八八０八八为三率求得四率九、八二八二０七为深弧正弦对数检表得四十二度十九分如前法加减得北极出地
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历十四刻十二分高弧七度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得五十五度三十分其本角正矢为０、四三三五九三八外角正矢为一、五六六四０六二乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦０、一二一八六九三为三率求得四率０、四四０二六六五为深弧正弦检表得一百五十三度五十三分与高弧相加得一百六十度五十三分以减半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北极出地度
对数草曰五十五度三十分本角正矢对数为九、六三七０八三０一外角正矢对数为一０、一九四九０四三九乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九、０八五八九四四七为三率求得四率九、六四三七一五八五为深弧正弦对数检表得一百五十三度五十三分如前法加减得北极出地
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历四十二刻二分高弧一百二十一度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得一百五十八度其本角正矢为一、九二七一八三九外角正矢为００七二八一六一乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦０八五七一六七三为三率求得四率０、三二三八六九三为深弧正弦检表得一度五十一分与高弧相加得一百二十二度五十一分以减半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北极出地度
对数草曰一百五十八度本角正矢对数为一０、二八四九二三一五外角正矢对数为八、八六二二二七六七乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九、九三三０六五五九为三率求得四率八、五一0三七0一一为深弧正弦对数检表得一度五十一分如前法加减得北极出地
附真数对数求正矢法
真数求正矢以余弦减半径即得如弧之过象限者其余弦为负故以加为减
对数求正矢无论过象限与否以半弧正弦对数倍之加二之对数０、三０一０二九九九减半径对数一０、即得盖首率半径中率通弦即半弧倍正弦得末率为倍正矢故通弦自乘半之半径除之为正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今对数倍之为自乘加为乘减为除故半弧正弦对数倍之加二之对数减半径对数即正矢对数也
近代畴人著述记
畴人传自罗茗香续后未有再续者近时算家著述序跋足继前贤而开后学者颇不乏人顾或僻处偏隅遗书未显或英年多故著作未成亦往往而有欲搜访而续缉之诚未易言矣然而覃精数理者名山之绝业也多方搜录者尚友之苦心也不揣梼昧勉效管窥意在网罗有伤繁冗谨分条诠次如左
仪征阮文达公元尝以虞推小雅十月之交在幽王六年因用时宪术士推幽王六年十月朔正得入交督漕运时立粮艘盘粮尺算法颁行各省又尝溯古今沿革之原究中西异同之致掇拾史书荟萃籍创为畴人传自黄帝以降甄而录之得二百八十人综算氏之大成纪步天之正轨至今游艺之士奉为南针
甘泉罗茗香士琳少时所著有比例汇通四卷摘九章中切于日用者汇为比例十二种意主法明西法后益专精于天元四元之术着观我生室汇稿已刻者凡九种曰句股容三事拾遗本博绘亭之法取句股中旧有之容方边容圆径益以西法之容中垂交互相求一以天元御之曰三角和较算例取斜平三角中两边夹一角术镕入立天元一法用和较推演成式曰四元玉鉴细草以朱松庭原书秘奥难读殚精一纪步为全草补漏订讹申明疑义曰演元九式括玉鉴中进退升降消长诸例借无数之数入以正负开方式曰台锥积演以玉鉴中有茭草形果积垒藏二门足补少广之缺爰取台锥形引而申之曰周无专鼎铭考以四分周术为主佐以三统汉术推得宣王