> 算例
假如平方负积十八正方二十□○九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□○九四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□○九二为二借根 二借根步至方法得一□九九九九八以除本积得□○九九弃零得□○九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿十万一千负廉十万一千一正隅一求元数
方廉隅正负减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同名相加异名相减以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□一九五一二为一借根 一借根廾乘隅得□三八七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根 二借根廾乘隅得□三九九四加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三三三三一加本积以方除之得三四七一□○为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五□○为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四六二五以减本积二借根立积乘隅得八十兆三七四二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆九九五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八四三九一以加本积减余数以方除之得四四五□六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八七八四以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五□三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八五一七以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五□四为七借根即元数
右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也
天元开诸乘方捷术八
如前诸术先求得元数数位为一借根 前得元数数位又为外根又求得递次除法 一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根 次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根 三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
按正诸乘方亦可用右术
天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截段求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也
算例
假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八□三欲增求之
以六一八□三为外根如前又求得二二三六□六为递次除法 六一八□三为一借根 一借积九九九九九一八□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六□六为初变方正一为正隅 置初变积以除法除之得□○三九八八七有奇截用四位得□○三九八八为次小根以加前得五位得六一八□三三九八八为二借根 次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得□○七四九八九有奇截用四位得□○七四九八为三小根以加前得九位得六一八□三三九八八七四九八为三借根 三小根借积一□六七六六三七六八九六七四减次变积余□○二一二八七三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅 置三变积以除法除之得