数并入所记根数上复以铜尺上墨线所记之处齐尺之上面细界量至又一数真数所在之处亦其根数下之零数再以墨线记其下则两零数亦接成一直线矣爰视两次所并之根数于尺之上面根数中寻对再以铜尺上端齐尺之上面细界线量其下所记墨线处
相遇之真数即得两数乘出之数也如遇两根数相并过一千根及两零相接过一根者俱依前法量之凡有法实两数欲归除者先以实数于尺内真数中寻对看尺之上面记其根数另用铜尺上端齐尺之上面细界量至寔之真数所在之处即其根数下之零数用墨记于铜尺上再以法数于尺内真数中对寻看尺之上面记其根数亦以铜尺上端齐尺之上面细界线量至法之真数所在之处亦其根数下之零数用墨线记于铜尺上面先将寔之根数内减去法之根数视其减余之根数于尺之上面查对复以铜尺上实之零数内亦减去法之零数用其减余之较数齐尺之上面细界量其下所记墨处相遇之真数即得两数除出之数也如遇实之根数少于法之根数及实之零少于法之零者俱依前法量之
凡算四率比例依常法第二率与第三率相乘数为寔以第一率为法归除之即得所求之第四率数故用量法亦以二率与三率之根数与零数如乘法相并即为寔再如归除法减去第一率之根数及零数视其余数依前法量之即得所求之四率数其理与用对数表同
凡开平方先以方积于尺内真数中寻对看尺之上面根数若为偶数即可折半若为奇数则少记一根移于纸上再以纸齐尺之上面细界量至方积真数所在之处即其根数下之零数以墨记于纸上随视折半之根数于赤之上面寻对再将纸上零数对折齐尺之上面细界量其下墨处相遇之真数即得方边然须审方积之位数必加首位于根数上折半复去首位而量之始方边之数不淆因方积两位定方边一位故也如方积止有单位则首位为０即将根数折半是也若方积在一百以内为二位数则其首位为一必加一千根于根数上折半方合若方积在一千以内为三位数则其首位为二必加二千根于根数上折半方合递求而上皆然
凡开立方积之根数亦必加首位惟根数与零数各取其三分之一如前法量其相遇之真数即得立方边多乘方依数递推如三乘方取四分之一四乘方取五分之一之类
中西历学源流异同论
窃谓两间中有万古不易之理无百世不变之法万事皆然于历为最故治历者惟当顺天以求合不当为合以验天尧命义和历象日月星辰舜在璇玑玉衡以齐七政是皆随时考测以合天也从未闻立一千古不易之法以能合永远之天象虽子舆氏所云苟求其故千岁之日至可坐而知然亦仍属求合之言古今来治历者七十余家疏密代更详推各异而要其理不外乎唐虞时所定之型模历也象也璇玑玉衡也即算数图象及测验之器也此乃治历之大经虽万世莫之易顾其历书三代而上诚有原原本本则师传曹习之书而毕丧于祖龙之焰惟尧典仅载以三百有六旬有六日为岁实杜预谓举全数而言则有六日其实为五日有四分日之一日论谓汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日有四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限定岁寔为三百六十五日又万分日之二千四百二十五较前代为密至前明西法渐入中土历数之学始称美备自汉时西人多禄亩以迄明第谷则立为本天高卑本轮均论诸说用三角推算其术尤精乃定岁实为三百六十五日又千万分日之二百四十二万一千八百七十五较之郭守敬又减万分之三有奇 国朝西人刻白尔噶西呢等更相推考又以本天为椭圆均分其面积为平行度又月离古历皆谓月每日行十三度又十九分度之七东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬定为转分进退时各不同犹今之有初均也迨今西法益明始知太阴共有十种行度皆因日行盈缩及本天高卑两弦朔望而生均与旧法迥殊惟因古时历年既浅所差甚微非一时所能灼见迨岁月迁流积微成着然后共见而差法立焉此非前人之智不若后人也盖前人不能预见后来之差而后人则能考前代之度分也故世愈以降历愈以明其势则然此历法所以古疏而今密者良有由也考泰西历学起于罗马国罗马历自奴马至该撒儒略一年为十二月乃祭司与大吏任改意定后该撒儒略征请亚力山大天算家锁西日呢定历始创三百六十五日及三百六十六日二假岁寔之法以三百六十六日为闰日之年每四年一闰与郭守敬第谷等所定之岁寔略近乃于耶稣降生前四十五年正月初一日为始改用新历
按史记当在汉宣元之间是时历法尚乱故史称其年为乱年嗣后儒略之令未行而死死后祭司不明历以本年为第一闰年至第四年又为闰年如是每三年中一闰历三十六年中当闰九日而误闰十二日该撒亚古士督觉其误下令十二年不置闰日乃合儒略之大意后不复改至小余积久自生差遂为格勒固里改之当汉儒子婴初始元年新莽建国四年及天凤三年等俱为闰日之年历家咸依此上推迄唐时始有九执历元季始有回回历统回部各国犹太等历言之也欧罗巴人又从回历加精近世噶西呢等踵起阐微发奥推测尤详当时西法并宗之然而术分疏密今古殊途理至精微中西一辙我 国家推恩中外一视同仁遂聘西人襄理历法此 历象考成等书所由来也然于历算诸学皆殚极精微惟中国向以闰月定四时成岁其故因地球历三百六十五日五小时三刻三分