左旋
九九九九九九按此诸较数俱为九之倍数以九减之俱能却尽无余又如三与三十之较数二七七与七十之较数六三亦为九之倍数故无论何数退下一位或几位即与九减几次无异譬如八十退下一位变为八即如八十以九减八次亦为八所以九减之法十百千万均可并入单位而他减则不能并也又准此理九减之法可以改为以并代减更为简捷假如八六五五七八四今欲以并代减将各位相并得四三又相并得七则与九减减得之数同若论用他数减试视九减孰为难易则他减难而九减易因九减可并故也
然九减法有利亦必有弊凡乘除之误往往因加错位次与减错位次者居多乃九减不能验出此等之误因九减亦不计位次之故是以九减虽称捷法诚不如七减之尽善也
说理透彻至窥得九减之弊尤见心细 验乘除误否旧传九减试法其能试之理安在若不用九减任用他数减试视九减法孰为难易 崔有洲
数之始生于一极于九乘除虽循环无穷而皆不能溢出九九范围之外故九减不论单十百千之位十百千即一也亦不计空位只据现有之数而计之如此●彼●两数相乘则并二一三七得十三以九减之余四于上并彼一三五六得十五以九减之余六以乘上得●并得六寄左乃以彼此两数相乘得●并得四十二以九减之亦余六与左数同则知无误如不用九减或用七减八减六减均可但拘于单十百千之位辗转屡次减之不及九减之便捷也或曰否九减不及七减之善七减单十百千仍居单十百千之位不违理之自然九减虽捷设如乘除误计降其位而珠筹之数恰符九减又恶能验乎
曰凡古之造九减者原为乘除位次繁多难免无误之时若未知升降定位者岂能握策而运筹哉如初学者位次不多无庸假途九减七减也任用约分法之屡减亦可验也若驭位次繁多者则莫如九减之善也
反复发明题无剩义
海镜之通句即平三和通股即高三和通弦即皇极三和大差即明三和小差即三和黄方即太虚三和试为溯其原委 沈善蒸
解曰试自圆心作通弦之垂线如心甲半径成川甲心日甲心两句股形其川甲心形之股与日甲心形之句均系半径而平取月之青川之夕高句朱之山旦之日亦系半径为相等形故川甲心形之弦川之心等于平弦川之地月之川日甲心形之弦日[之心](心之)等于高弦天之日日之山此即皇极句心之川等于平弦皇极股日之心等于高弦之理也通句系平句高句皇极句之和故即平三和通股系平股高股皇极股之和故即高三和通弦系平弦高弦皇极弦之和故即皇极三和又月之南与月之
甲相等山之东与山之甲相等故明句弦和等于日之甲即与高股等股山之东弦山之川和等于川之甲即与平句等明句南之月股山之东之和等于月之山即太虚弦也乃大差天之[甲](申)系高股明股日之南之和故即明三和小差地之艮系平句句东之川之和故即三和黄方巽之南加巽之东系太虚句月之巽股巽之山和与明句股之和故即太虚三和均合问图略
简括浏亮兼而有之
海镜之通句即平三和通股即高三和通弦即皇极三和大差即明三和小差 即三和黄方即太虚三和试为溯其原委 郑兴森
大差者句股较加黄方即为股小差者股弦较加黄方即为句黄方者弦和较减句股并即为弦通句既等于平三和平三和减句弦为股即高句减句股为弦即皇极句减倍句一股为大差即明句减倍股一句为小差即句减倍弦为黄方即太虚句通股既等于高三和高弦即皇极股高大差即明股高小差即股高黄方即太虚股通弦既等于皇极三和极大差即明弦极小差即弦极黄方即虚弦大差既等于明三和明小差即大差明黄方即虚大差小差既等三和黄方即虚小差黄方既等于太虚三和则虚之句
股弦大差小差必等于平高极明诸黄方他若虚两句并为平句明虚两股并为高股明虚三弦并为极弦平大差皇极大差较为明大差高小差极小差较为小差高黄明黄较为虚黄五事可以类推更以六事推之平高极三者合等于通高极二者合等于边平极二者合等于底高明虚三者合等于黄广平虚三者合等于黄长高明二者合等于大差平二者合等于小差其原委如此
头头是道非于此学夙有体验者不办 弦和较羃为一率句股相乘倍之为二率弦羃内减句股较羃为三率求得四 率开平方得弦和和以比例之理释之 郑兴森
弦和较羃为句弦较股弦较相乘羃之倍弦和和羃为句弦和股弦和相乘羃之倍句股相乘为直积得句股积之倍倍直积为句股积者四弦羃内有句股较羃一句股积四故减较羃余与倍直积等句股之法以倍句与股或句与倍股为二三两率相乘得数以一率弦和较除之四率得弦和和今倍直积与弦羃减较羃等相乘为句股积十六倍二三率相乘犹中率自乘也本以边为比例今以羃为比例边线也羃面也今既为面故得四率须开方而得线此实为合率比例
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