左旋
弧矢论
分法论
六分论
○勾股测望论
勾股所谓矩也古人执数寸之矩而日月运行朓朒迟速之变山溪之高深广远凡目力所及无不可知盖不能逃乎数也勾股之法横为勾纵为股斜为弦勾股求弦勾股自乘相并为实平方开之得弦勾股求股勾弦自乘相减为实平方开之得股股弦求勾同法盖一弦实藏一勾一股之实一勾一股之实并得一弦实也数非两不行因勾股而得弦因股弦而得勾因勾弦而得股三者之中其两者显而可知其一者藏而不可知因两以得三此勾股法之可通者也至如远近可知而高下不可知如卑则塔影高则
日影之类塔影之在地者可量而人足可以至于戴日之下而日与塔高低之数不可知则是有勾而无股弦三者缺其二数不可起而勾股之法穷矣于是有立表之法盖以小勾股求大勾股也小勾股每一寸之勾为股长几何则大勾股每一尺之勾其长几何可知矣此以人目与表与所望之高三相直而知之也人目至表小弦也人目至所望之高大弦也又法表为小股其高几何与至塔下之数相乘以小勾除之则得塔高盖横之则为小股至塔之积纵之则为小勾至塔顶之积纵横之数恰同是变勾以为股因横而得纵者也
勾股弦三者有一可知则立表之法可得而用若其高与远之数皆不可知而但目力可及如隔海望山之类则勾股弦三者无一可知而立表之法又穷矣于是有重表之法盖两表相去几何为影差者几何因其差以求勾股亦可得伏立表者以通勾股之穷也重表者以通一表之穷也其实重表一表也一表勾股也无二法也
○勾股容方圆论
凡奇零不齐之数凖之于齐圆凖之于方不齐之圆凖于齐之圆不齐之方凖于齐之方勾股容圆凖于勾股容方假令勾五股五弦七有奇此为整方均齐无较之勾股其容方径该得勾之半盖容方积得勾股全积四分之一其取全积时勾股分在两廉则勾五股五五五二十五内一半为勾积一半为股积其求容方则并勾股为纵一廉得十为长之数得阔二五与原勾相半盖始初则一半勾积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上勾积在下而为长方矣其容方所以止得半勾者则以勾股之数均也
若勾短股长则容方以渐而阔不止于半勾矣故大半为股积小半为勾积其始横列时勾积与股同长而不同阔其从列时则股积之阔如故而勾积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之勾积股积者从容方径与勾股相乘之数而名之也若取容圆径则用勾股自之而倍其数以勾股与弦并为法盖容圆之径多于容方方有四角与弦相碍故其数少圆循弦宛转故其数多若以求容方与求容圆相□则积中恰少一叚圆径与半弦和较相乘之数弦和较者勾股并与弦相较之数也
假令勾五股五相乘亦倍之得五十如求容方则亦倍勾股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍勾股为法而用一勾股并与一弦是以一弦代一勾股并也以一弦代一勾股并恰少一弦和较加一弦和较则亦两勾股矣假令一勾股得十倍勾股得二十是取容方之径一勾股得十一弦得七恰少一弦和较三是取容圆之径其所以少一弦和较者圆径多于方径也假令取容圆不用勾股倍积而止用勾股本积则宜用勾股并为廉而除去半弦和较亦得或约得圆径之后与半弦和较相乘添
积而以勾股并为廉不除亦得或用勾股倍积用两勾股相并为廉而以全弦和较与约得圆径相乘添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于弦和较间也至于勾股积与弦积亦只于勾股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令股五勾五齐数之勾股则勾股幕倍之即得弦幕盖两勾股积而成弦积也至于勾短股长相乘之积则成一长方倍之而弦侧不当中径亦不成弦幕惟以一勾股较积补之乃能使长方为一正方而得弦积盖勾股之差愈远则长方愈狭长方愈狭则勾股之差积愈多故勾股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也
○弧矢论
凡弧矢筭法凖之于矢而参之于径背径求矢之法先求之背弦差而半背弦差藏之矢幂与径相除之中倍矢幂与径相除则全背弦差也半法简捷故用其半幂者方眼也自乘之数必方故增之幂假令径十寸截矢一寸一寸隅无开方即以一寸为矢幂而以十寸之径除之该得一分是半背弦差一分若二寸矢开方得四寸是为一寸者四半背弦差得四分三寸矢开方得九是为一寸者九半背弦差得九分皆凖之于十寸之径故一寸之幂而差一分逓而上之视其幂以为差之多少又假令径十三寸矢幂一
寸则以十三寸之径与一寸相除每寸该差七厘七毫弱以为半背弦差若二寸矢开方得四该四个七厘七毫并之得三分八毫以为二寸矢半背弦差此凖之十三寸之径亦逓而上之视其幂以为差之多少盖径长则背弦之差减故一寸矢而
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